DM Kebaier

Auteurs : Badda Imad & Duguey Martin

Dans la suite des exercices on supposera que l'actif risqué $S$ suit la dynamique suivante : $$ \begin{equation} S_t = S_0 exp \left( \left( r - \frac{\sigma^2}{2} \right) t + \sigma W_t \right) \end{equation} $$

Exercice n°1

Pour aller plus loin : Commençons par calculer une première fois le prix de l'option asiatique

Les fonctions ci-dessus nous permettent via la méthode de Cholesky, de générer d-mouvement browniens qui nous sont retournés sout la forme d'une matrice de MB : $$ \mathbb{G} = \begin{pmatrix} W_{t_{0}}^{1} & W_{t_{1}}^{1} & \cdots & W_{t_{n}}^{1}\\ W_{t_{0}}^{2} & W_{t_{1}}^{2} & \cdots & W_{t_{n}}^{2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ W_{t_{0}}^{d} & W_{t_{1}}^{d} & \cdots & W_{t_{n}}^{d}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & W_{t_{1}}^{1} & \cdots & W_{t_{n}}^{1}\\ 0 & W_{t_{1}}^{2} & \cdots & W_{t_{n}}^{2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & W_{t_{1}}^{d} & \cdots & W_{t_{n}}^{d}\\ \end{pmatrix} $$

En injectant la matrice de browniens calculé plus haut dans la fonction prixActif, on obtient la matrice suivante : $$ \text{Mat_{S_t}} = \begin{pmatrix} S_{t_{0}}^{1} & S_{t_{1}}^{1} & \cdots & S_{t_{n}}^{1}\\ S_{t_{0}}^{2} & S_{t_{1}}^{2} & \cdots & S_{t_{n}}^{2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ S_{t_{0}}^{d} & S_{t_{1}}^{d} & \cdots & S_{t_{n}}^{d}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} S_0 & S_{t_{1}}^{1} & \cdots & S_{t_{n}}^{1}\\ S_0 & S_{t_{1}}^{2} & \cdots & S_{t_{n}}^{2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ S_0 & S_{t_{1}}^{d} & \cdots & S_{t_{n}}^{d}\\ \end{pmatrix} $$

Prix de l'option, Monte-Carlo et son intervalle de confiance

Jusque-là on a seulement calculer une réalisation du payoff de notre indice. Toutefois on veut le prix de l'option, ce qui correspond à $ \mathbb{E} \Bigl[ \bigl(I_{T} - K \bigr)_{+} \Bigr] $.
Pour cela on va passer par la méthode de Monte-Carlo. Cette méthode est basée sur la loi forte des grands nombres car on sait que pour toute variable intégrable $Z$, si on a des variables $Z_{i}$ de même loi que $Z$, on a $\overline{Z}_{M}= \frac{1}{M} \sum \limits_{\underset{}{i=0}}^M Z_i$ $ \underset{M \to +\infty}{\overset{p.s}{\longrightarrow}} \mathbb{E}[Z]$.
Cette méthode étant probabiliste, il nous fait un intervalle de confiance de notre estimateur de $\mathbb{E}[Z]$.
Par le TCL (Théorème Central Limite), on sait que (en rajoutant l'hypothèse que Z soit carré intégrable) $\sqrt{M} \frac{ \overline{Z}_{M}-\mathbb{E}[Z] }{ \sqrt{\mathbb{V}(Z)} } \sim \mathcal{N}(0,1)$. De ce fait on peut construire l'intervalle suivant pour $\mathbb{E}[Z]$ : $$ \begin{equation*} \Bigl[ \overline{Z}_{M} - q_{\alpha}\sqrt{\frac{\mathbb{V}(Z)}{M}} ; \overline{Z}_{M} + q_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathbb{V}(Z)}{M}} \Bigr] \\ \text{avec } q_{\alpha} \text{le quantile d'ordre } \alpha \text{ de la loi normale centrée réduite} \end{equation*} $$ Ici $Z = \bigl(I_{T} - K \bigr)_{+}$ et comme on ne connaît pas la loi du payoff, on déterminera $\mathbb{V} \Bigl[ \bigl(I_{T} - K \bigr)_{+} \Bigr]$ numériquement à partir des tirages déjà fais de $\bigl(I_{T} - K \bigr)_{+}$.

$\mathbf{Q1)}$

$\mathbf{Q2})$

$\mathbf{Q3})$

Comparatif des variables de contrôle

Nos techniques de réduction de varance marchent bien. Les graphes ci-dessus nous montrent bien que les méthodes permettent de converger vers le même prix (donc c'est bien implémenté) et aussi les méthodes de réduction de variance réduisent effectivement la variance de nos estimateurs car la longueur de l'intervalle de confiance se réduit avec les variables de contrôle et de plus l'utilisation de $Z$ nous donne de meilleurs résultats qu'avec $Y$.

$\mathbf{Q5})$

Exercice n°2

$\mathbf{Q1})$

\begin{align*} \Pi_{DS} = S_0(\mathcal{N}(d_1) - \lambda e^{-r(T-t_{1})}\mathcal{N}(d_2))& \end{align*}

avec $d_1 = \frac{log(\frac{1}{\lambda})+(r+\frac{\sigma^2}{2})(T-t_1)}{\sigma \sqrt{T-t_1}}$ et $d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t_1}$.

$\mathbf{Q2})$

Exercice n°3

Ici notre objectif est de déterminer le prix d'un put bermudien : $$ \begin{equation*} p = \underset{\tau \in \{t_0,..,t_n \} }{sup} \mathbb{E} \left[ e^{-r \tau} \left( K - S_{\tau} \right)^{+} \right] \\ \end{equation*} $$

$\mathbf{Q1})$

Execution de l'algorithme de Longstaff-Schwarz

$\mathbf{Q2})$